Résumé

On se propose de calculer le champ des contraintes et des déformations induit par la seule contraction circonférentielle de Lorentz au sein d'un disque élastique, linéaire, isotrope, tournant à la vitesse angulaire constante w et de rayon R (dépendant légèrement de w en raison de l’effet de la « force centrifuge » qui augmente R car cette « force » le met dans un état de contrainte de traction).

1 Méthode de calcul

           Pour un disque tournant en aluminium par exemple, cette correction relativiste s’ajoutant au champ de contraintes classique est très faible devant la contribution classique non relativiste due à la seule « force centrifuge » (l'effet classique est au moins 1011 fois plus grand). L’obtention de l’état des contraintes et déformations dues à la «force centrifuge» sans prendre en compte les effets relativistes est un calcul classique qui doit donc être fait en premier, en grands déplacements et grandes déformations (les corrections non linéaires classiques sont à elles seules très supérieures à la correction relativiste). Pour faire apparaître isolément la correction relativiste due au seul effet de contraction de Lorentz, ie les contraintes et déformations induites par la seule métrique spatiale stationnaire résultant de l’application de la Relativité à un référentiel tournant, on considèrera un disque tournant de masse nulle. On recherche donc le champ des déplacements radiaux u = u(r) permettant de minimiser l'énergie de déformation élastique engendrée par la seule déformation circonférentielle initiale de Lorentz du disque tournant. Pour cela,

2 Expression des allongements relatifs eq et eren fonction du
déplacement radial inconnu u(r) (dans le référentiel tournant)

 

3 Ecrivons l’équilibre radial du disque tournant

sr dr d q + d sr r d q - sq dr d q= 0

sr + r d sr / dr - sq = 0

4 Equation de comportement élastique linéaire du disque en contraintes planes

sr = E ( er + n eq )/(1- n2)               sq = E ( eq + n er )/(1- n2)

En remplaçant sr et sq par ces expressions dans l'équation d'équilibre radial,

on obtient l’équation différentielle du déplacement radial u

( e r + n eq ) + r d( er + n eq ) / dr – ( eq + n er ) = 0

(1- n) er+ ( n-1)eq + r d( er + n eq ) / dr = 0

(1- n) du/dr + ( n-1) u/r + r d(du/dr + n u/r)/dr = -( n-1 +  r n d/dr) e0

On en tire la fonction de déplacement radial du disque tournant u(r) = k ra avec

k [(1- n ) a ra-1 + ( n -1) ra-1 + r d( a ra-1 + n ra-1)/dr ] = – ( n -1 +  r n d/dr) e0

k [(1- n) ar a-1 + (n -1) r a-1 + a(a-1) ra-1 + n (a-1) r a-1] = – ( n -1 +  r n d/dr)(r w /c)2/2

d'où a = 3 et k [ 3(1- n) + n -1 + 6 + 2n ] = - (n -1 + 2n)(w/c) 2/ 2

8 k = (1-3n)(w/c)2 / 2 soit k = (1-3 n)(w/c)2/ 16

D'où u(r) = (1-3n) r (r w/c)2/ 16 = (1-3n) r e0(r)/ 8

Conformément à l'effet de contraction circonférentielle de Lorentz e0 , traduite par la métrique spatiale stationnaire du disque tournant, on obtient un état de déformation du disque tournant caractérisé par

eq = u /r + e0 = ((1-3n)/8 + 1) e0

er = du/dr = (3 - 9n) (r w/c)2/ 16

Allongement circonférentiel relatif eq = (9 - 3n) e0 /8
(avant prise en compte de la condition limite s r = 0 sur le bord du disque, ie en r = R)

Allongement radial relatif er = (3 - 9n) e0 / 8
(avant prise en compte de sr = 0 sur le bord du disque)

Où l'allongement relatif du à la contraction de Lorentz vaut e0(r) = (1-v 2/c2)-1/2 – 1

Les contraintes radiales et tangentielles relatives au sein du disque tournant valent

sr = E ( er + n eq )/(1- n2)             sq = E ( eq + n er )/(1- n2)

sr = E e0[3-9 n + n (9-3n)]/[8(1-n2)] =3E e0/8

sq =E e0(9-3n +n(3- 9n)]/[8(1-n 2)] = 9Ee0/8

Il ne nous reste plus qu'à ajouter un champ de contraintes constant s0 compensant la contrainte sr ci-dessus pour r = R afin d'exprimer la condition limite sr = 0 en r=R. On a donc     s0 = - sr(R) = -3E e0(R)/8

Finalement contraintes et déformations induites par la seule contraction circonférentielle de Lorentz valent

Conclusion

On remarque que la courbure spatiale négative associée à la métrique du disque tournant [2] se traduit en fait physiquement par la déformation de ce disque dans un espace Euclidien car le disque reste observable par un observateur immobile situé dans une région de l'espace à peu près vide. Physiquement, le disque reste plat, bien sûr. Il possède la même géométrie et un champ de contraintes-déformation analogue à celui d'une calotte sphérique en caoutchouc écrasée sur une table bien plate (traction circonférentielle et compression radiale). La courbure spatiale intrinsèque négative d'un cylindre tournant se traduit en fait par un champ de déformations ne respectant pas les conditions dites de compatibilité de Lamé. Cela signifie que si l'on voulait supprimer ce champ de déformations en soumettant un objet tournant cylindrique à un champ de déplacements, il faudrait lui permettre de sortir de notre espace Euclidien à 3 dimensions. Pour cela, il faudrait que le cylindre tournant parvienne à courber l'espace qu'il occupe et bien sûr, notre espace Euclidien ne se laisse pas faire.

On notera enfin que ce calcul permet de mettre en évidence et d'expliciter la signification physique du système de coordonnées de repérage r et q utilisé et la nécessité de faire intervenir deux métriques

Plus vite que la lumière dans l'espace-temps absolu d'ARISTOTE

Autre page du site montrant la compatibilité de l'existence d'éventuelles interactions se propageant à vitesse supra-luminique avec une formulation de la Relativité Restreinte dans le cadre de l'espace-temps absolu d'Aristote.


[1] On remarque qu'après addition de la déformation circonférentielle de Lorentz, le champ de déformations obtenu ne respecte pas les conditions de compatibilité dites de Lamé. Un tel champ est dit cinématiquement inadmissible. Cela signifie que l'on ne peut pas le créer en déformant l'objet dans notre espace Euclidien. L'état de contrainte engendré par ce champ de déformations est l'état de moindre énergie pris par notre disque, contraint de rester prisonnier de notre espace Euclidien à 3 dimensions alors qu'il voudrait bien le courber pour pouvoir respecter la contraction circonférentielle de Lorentz sans subir de contrainte.

[2] Circonférence supérieure à 2pR