Résumé

On se propose de calculer le champ des contraintes et des déformations induit par la seule contraction circonférentielle de Lorentz au sein d'un disque élastique, linéaire, isotrope, tournant à la vitesse angulaire constante w et de rayon R (dépendant légèrement de w en raison de l’effet de la « force centrifuge » qui augmente R car cette « force » le met dans un état de contrainte de traction).

1 Méthode de calcul

           Pour un disque tournant en aluminium par exemple, cette correction relativiste s’ajoutant au champ de contraintes classique est très faible devant la contribution classique non relativiste due à la seule « force centrifuge » (l'effet classique est au moins 10¹¹ fois plus grand). L’obtention de l’état des contraintes et déformations dues à la «force centrifuge» sans prendre en compte les effets relativistes est un calcul classique qui doit donc être fait en premier, en grands déplacements et grandes déformations (les corrections non linéaires classiques sont à elles seules très supérieures à la correction relativiste). Pour faire apparaître isolément la correction relativiste due au seul effet de contraction de Lorentz, ie les contraintes et déformations induites par la seule métrique spatiale stationnaire résultant de l’application de la Relativité à un référentiel tournant, on considèrera un disque tournant de masse nulle. On recherche donc le champ des déplacements radiaux u = u(r) permettant de minimiser l'énergie de déformation élastique engendrée par la seule déformation circonférentielle initiale de Lorentz du disque tournant. Pour cela,

• On considère le champ de déformations circonférentielles de traction
  e₀ (r) = (1–v²/c²)^–1/2 –1 (où v = wR)
  qui serait induit par la contraction circonférentielle de Lorentz
  en absence de tout changement de géométrie absolue du disque.

• On rajoute l'état de déformation élastique relativiste du disque (e_r(u), e_q(u))
  associé au champ de déplacement radial u = u(r) relaxant à son niveau minimal
  l'énergie élastique associée au champ de déformation élastique (de valeur initiale e_q = e₀)

• On exprime les contraintes relativistes s _r et s_q en fonction de ces déformations élastiques relativistes.

• On exprime la condition d'équilibre (minimisation de l'énergie élastique) div s = 0

• On rajoute un champ de contraintes constant (donc statiquement admissible)
  annulant la contrainte radiale s _r sur le bord du disque.

2 Expression des allongements relatifs e_q et e_ren fonction du
déplacement radial inconnu u(r) (dans le référentiel tournant)

• Allongement circonférentiel relatif e₀ induit par la contraction circonférentielle de Lorentz, ie par la partie spatiale de la métrique stationnaire du disque tournant (cf Landau et Lifchitz, Tome 2, théorie des Champs, § 89 la rotation)
  e ₀(r) = (1-v²/c²)^-1/2 –1 » r w ²/2

• Allongement circonférentiel relatif total e_q = e₀ + u /r [1]

• Allongement radial relatif e_r= du/dr

3 Ecrivons l’équilibre radial du disque tournant

s_r dr d q + d s_r r d q - s_q dr d q= 0

s_r + r d s_r / dr - s_q = 0

4 Equation de comportement élastique linéaire du disque en contraintes planes

s_r = E ( e_r + n e_q )/(1- n²)               s_q = E ( e_q + n e_r )/(1- n²)

En remplaçant s_r et s_q par ces expressions dans l'équation d'équilibre radial,

on obtient l’équation différentielle du déplacement radial u

( e _r + n e_q ) + r d( e_r + n e_q ) / dr – ( e_q + n e_r ) = 0

(1- n) e_r+ ( n-1)e_q + r d( e_r + n e_q ) / dr = 0

(1- n) du/dr + ( n-1) u/r + r d(du/dr + n u/r)/dr = -( n-1 +  r n d/dr) e₀

On en tire la fonction de déplacement radial du disque tournant u(r) = k r^a avec

k [(1- n ) a r^a-1 + ( n -1) r^a-1 + r d( a r^a-1 + n r^a-1)/dr ] = – ( n -1 +  r n d/dr) e₀

k [(1- n) ar ^a-1 + (n -1) r ^a-1 + a(a-1) r^a-1 + n (a-1) r ^a-1] = – ( n -1 +  r n d/dr)(r w /c)²/2

d'où a = 3 et k [ 3(1- n) + n -1 + 6 + 2n ] = - (n -1 + 2n)(w/c) ²/ 2

8 k = (1-3n)(w/c)² / 2 soit k = (1-3 n)(w/c)²/ 16

D'où u(r) = (1-3n) r (r w/c)²/ 16 = (1-3n) r e₀(r)/ 8

Conformément à l'effet de contraction circonférentielle de Lorentz e₀ , traduite par la métrique spatiale stationnaire du disque tournant, on obtient un état de déformation du disque tournant caractérisé par

e_q = u /r + e₀ = ((1-3n)/8 + 1) e₀

e_r = du/dr = (3 - 9n) (r w/c)²/ 16

Allongement circonférentiel relatif e_q = (9 - 3n) e₀ /8
(avant prise en compte de la condition limite s _r = 0 sur le bord du disque, ie en r = R)

Allongement radial relatif e_r = (3 - 9n) e₀ / 8
(avant prise en compte de s_r = 0 sur le bord du disque)

Où l'allongement relatif du à la contraction de Lorentz vaut e₀(r) = (1-v ²/c²)^-1/2 – 1

Les contraintes radiales et tangentielles relatives au sein du disque tournant valent

s_r = E ( e_r + n e_q )/(1- n²)             s_q = E ( e_q + n e_r )/(1- n²)

s_r = E e₀[3-9 n + n (9-3n)]/[8(1-n²)] =3E e₀/8

s_q =E e₀(9-3n +n(3- 9n)]/[8(1-n ²)] = 9Ee₀/8

Il ne nous reste plus qu'à ajouter un champ de contraintes constant s₀ compensant la contrainte s_r ci-dessus pour r = R afin d'exprimer la condition limite s_r = 0 en r=R. On a donc     s₀ = - s_r(R) = -3E e₀(R)/8

Finalement contraintes et déformations induites par la seule contraction circonférentielle de Lorentz valent

• Contrainte radiale s'_r = 3E(e₀(r) -e₀(R))/8

• Contrainte circonférentielle s'_q = 3E(3e₀(r) -e₀(R))/8

• Déformation radiale e'_r = ( s'_r – n s' _q )/E = 3[(1–3n) e ₀(r) –(1–n) e₀(R)]/8

• Déformation circonférentielle e'_q = ( s'_q– n s'_r )/E = 3[(3– n) e₀(r) –(1– n) e₀(R)]/8

Conclusion

On remarque que la courbure spatiale négative associée à la métrique du disque tournant [2] se traduit en fait physiquement par la déformation de ce disque dans un espace Euclidien car le disque reste observable par un observateur immobile situé dans une région de l'espace à peu près vide. Physiquement, le disque reste plat, bien sûr. Il possède la même géométrie et un champ de contraintes-déformation analogue à celui d'une calotte sphérique en caoutchouc écrasée sur une table bien plate (traction circonférentielle et compression radiale). La courbure spatiale intrinsèque négative d'un cylindre tournant se traduit en fait par un champ de déformations ne respectant pas les conditions dites de compatibilité de Lamé. Cela signifie que si l'on voulait supprimer ce champ de déformations en soumettant un objet tournant cylindrique à un champ de déplacements, il faudrait lui permettre de sortir de notre espace Euclidien à 3 dimensions. Pour cela, il faudrait que le cylindre tournant parvienne à courber l'espace qu'il occupe et bien sûr, notre espace Euclidien ne se laisse pas faire.

On notera enfin que ce calcul permet de mettre en évidence et d'expliciter la signification physique du système de coordonnées de repérage r et q utilisé et la nécessité de faire intervenir deux métriques

• la métrique spatiale de l'observateur absolu dl₀² = dr² + r² dq² (ou métrique extrinsèque du disque tournant) qui permet de donner un sens physique précis aux coordonnées de repérage r et q utilisées dans cette étude. dr et rdq forment en effet un système de coordonnées polaires localement orthonormées vis à vis de la métrique spatiale Euclidienne de l'observateur immobile de référence.
  

• la métrique spatiale intrinsèque du disque tournant dl²= dr² + r² dq ²/(1-v²/c²)^1/2 traduisant la contraction de Lorentz en (1-v²/c²)^1/2 du mètre libre de contrainte de l'observateur tournant lorsqu'il oriente ce mètre dans la direction circonférentielle. Cette contraction circonférentielle de Lorentz est modélisée par la courbure spatiale négative de la métrique intrinsèque du disque tournant. Avec son mètre raccourci par la contraction circonférentielle de Lorentz, si l'observateur tournant trace un cercle de rayon R sur son disque tournant,  il trouve une circonférence valant
  C = 2pR/(1-v ²/c²)^1/2 > 2 pR 
  car son mètre subit la contraction de Lorentz lorsqu'il est orienté dans la direction de sa vitesse.

Autre page du site montrant la compatibilité de l'existence d'éventuelles interactions se propageant à vitesse supra-luminique avec une formulation de la Relativité Restreinte dans le cadre de l'espace-temps absolu d'Aristote.

[1] On remarque qu'après addition de la déformation circonférentielle de Lorentz, le champ de déformations obtenu ne respecte pas les conditions de compatibilité dites de Lamé. Un tel champ est dit cinématiquement inadmissible. Cela signifie que l'on ne peut pas le créer en déformant l'objet dans notre espace Euclidien. L'état de contrainte engendré par ce champ de déformations est l'état de moindre énergie pris par notre disque, contraint de rester prisonnier de notre espace Euclidien à 3 dimensions alors qu'il voudrait bien le courber pour pouvoir respecter la contraction circonférentielle de Lorentz sans subir de contrainte.